تدوین: مهدی یاراحمدی خراسانی
پارادوكس(باطلنما)چيست؟
آنچه كه تناقض آميز، باورنکردني يا خلاف انتظار (و شهود) ماست.(آنچه به نظر درست مي رسد ولي غلط است، به نظر غلط مي رسد ولي درست است، يا به نظر غلط مي رسد و واقعا” غلط است.
فايده پارادوکسها :
۱ (ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛
۲ (تعميق بينش؛
۳(تعميم شيوه هاي استدلال؛
۴ (افزايش دقت؛
۵ (وضع قوانين زبان شناختي جديد.
بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم!درمنطق پيراسازگار (paraconsistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف سيستم کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.
انواع پارادوکسها :
1- پارادوکس روز تولد :
اگر ۲۳ نفر در اين سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰% است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود ۰۵/۰% و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.
2- پاردوكسهاي زنون ( Zeno’s Paradoxes) :
در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم. براي اين كه ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از نقطة A حركت كرد.
A—D—C——-B
در مسابقه ” دو“ بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد.
A————T——
3- پارادوكس لامپ تامسون (Tompson Lamp Paradox ) :
لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن می‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟
4- پارادوكس دار غيرمنتظره ( Unexpected Hanging Paradox ):
به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.
5- پارادوكس توده ( Sorites Paradox ) :
يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي شود.
6- پارادوكس ريچارد (Jules Richard’s Paradoxesَ) :
آيا ” كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد“ وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ” و “ قرار دارد كمتر ار صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!
7- پارادوکس خداوند قادر مطلق :
آيا خداوند مي تواند سنگي بسازد که نتواند بلند کند؟
8- پارادوكس اژدها :
چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم ” اژدهاي هفت سر وجود ندارد.“
9- پارادوكس تخته سياه :
تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد ۱، ۲، ۳، جملة ” كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. “ نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد ۴ روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين ۴ است.
10- پارادوكس بوچوفسكي ( Buchowski Paradox ) :
فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل، راست است:
” برادر جوانترم از من مسن تر است“
11-پارادوكس دروغگو (Liar’s Paradox) يا پارادوكس ائوبوليدس(Eubulides’ Paradox ):
مي گويند روزي ائوبوليدس، متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميلاد، گفت: ” چيزي كه آلان مي گويم دروغ است“. اگر گفتة او درست باشد، آنگاه بنا به آنچه گفته است، بايد گفته اش دروغ باشد، واگر گفتة او دروغ باشد، دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است.
12- پارادوكس دور :
اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است:
جملة P اين است: ”q دروغ است.“
جملة q اين است: “ P راست است. “
نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي ”راست“، ” دروغ “ و ” نه راست ـ نه دروغ “ را داشته باشند آنگاه گزارةP به صورت “ P دروغ يا نه راست ـ نه دروغ است“ نمي تواند هيچيك از ارزشهاي ” راست “ ، ” دروغ “ و ” نه راست – نه دروغ“ را به خود بگيرد.
13- پارادوكس تابلو :
اين پارادوكس در ۱۹۱۳ توسط رياضيدان انگليسي جردن (P. E. B. Jourdain) ارائه ”جمله پشت اين تابلو راست است.“ و در طرف ديگر آن ”جمله پشت اين تابلو دروغ است.“ نوشته شده است!
14- پارادوكس سقراط ( Socrates Paradox ) :
نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است:” چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم “.
15- پارادوكس جزيرة وحشي ها :
در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا، خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند، به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند، اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند. روزي شخصي وارد جزيره شد. او را گرفتند و از او پرسيدند” سرنوشت تو چه خواهد بود؟“ آن شخص جواب داد ” شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد.“ با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ!
16-پارادوكس آرايشگر( Barber Paradox) يا پارادوکس راسل (Russell’s Paradox ) :
در دهكده اي فقط يك آرايشگر وجود دارد. او فقط ريش كساني را مي تراشد كه ريش خود را نمي تراشند. سوال اين است كه ريش خود ريش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اگر او ريش خود را نتراشد، بايد نزد ريش تراش يعني خودش، برود تا ريشش را بتراشد و اگر ريش خود را بتراشد، نبايد توسط ريش تراش يعني خودش، ريشش تراشيده شود.
17- پارادوكس فهرست ( Catalogue Paradox ) :
كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند. آيا فهرست اين كتابدار، نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟
18 – پارادوكس خود نا توصيف ( Heterological Paradox ):
خود ناتوصيف، كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة “خود ناتوصيف” خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد.
19- پارادوكس اسمارانداچ (Smarandache Paradox ) :
فرض كنيد A يكي از عبارات ممكن، كامل و . . . باشد. در اين صورت ” همه چيز A است“ ايجاب مي كند که “~A نيز A باشد”. مثلاً وقتي مي گوييم ” همه چيز ممكن است“ ، نتيجه مي شود كه ” غير ممكن نيز ممكن است“ ، يا از ” هيچ چيز كامل نيست “ اين كه ” كامل نيز كامل نيست “ مستفاد مي شود.
20- پارادوكس كانتور ( Cantor’s Paradox ) :
فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد، پسP(A)=A و لذا ( card(P(A))=card(A از طرفي بنا به قضية کانتور( card(P(A))
21- پارادوکس نيوکام :
فرض کنيد دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A شامل ۱۰۰۰ دلار و B شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه B را انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد، پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه B ، ۱۰۰۰۰۰۰د اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه A وB را انتخاب کنيد.
سوال:
اگر شما به انتخاب فقط B تمايل داشته باشيد، مي توانيد A را نيز انتخاب کنيد؟
22- آشنائی با يک پارادکس منطقی :
به درستی معلوم نيست كه اولين دفعه چه كسی اين پارادکس را ابداع كرد، ولی بنا به گفته‌ی کواين – قيلسوف علم مشهور – اين مساله قبل از سال 1940 بر سر زبان‌ها افتاده و دهان به دهان می‌گشت و عموماً به صورت مسأله‌ای تحت عنوان شخص محكوم به مرگ مطرح می‌شد كه اكنون ما به شرح آن می‌پردازيم:
در يك روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محكوم كرد.
قاضی به زندانیِ محكوم گفت:
ظهريكی از روزهای هفته‌ی آينده حكم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما آنروز را برای تو مشخص نخواهيم كرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پيدا نخواهی كرد و فقط شش ساعت قبل يعنی صبحِ روز اجرای حكم موضوع را به تو اطلاع خواهيم داد.
قاضیِ مذكور در همه‌ی عالم به ذكاوت و خوش‌قولی مشهور بود و هميشه دقيقاً به گفته‌ی خود عمل می‌نمود.
زندانی به همراهی وكيل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فكر فرو رفتند. ناگاه وكيل مدافع با لبخندی پيروزمندانه سكوت را شكست و گفت:
اجرای حكم قاضی امكان ندارد.
زندانی گفت:
من كه چيزی سردر نمی‌آورم. چرا؟
وكيل مدافع پاسخ داد:
اجازه بده تا درست برايت شرح دهم: مسلماًً آنها روز جمعه نمی‌نتوانند تو را اعدام كنند. به دليلِ اينكه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی آينده حكم را اجرا نمايند. در اين صورت تو تمام روزهای هفته و همچنين بعدازظهر پنجشنبه زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه يعنی يك روز ديگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنجشنبه برای تو مسلم خواهد شد كه فردا يعنی روز جمعه و تنها روز آخر هفته ، حكم اجرا خواهد شد. در نتيجه تو روز اجرای حكم را يك روز پيشتر پيش‌بينی و قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل كرده‌ای و اين موضوع نقض حكم قاضی بوده و گفته‌ی او را بی‌اعتبار خواهد كرد.
زندانی گفته‌ی او را تصديق كرد.وكيل مدافع ادامه داد:
بنابراين روز جمعه‌ی آينده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در آن روز حكم غيرقابل اجرا است. و اما روز پنجشنبه نيز نمی‌توانند تو را اعدام كنند چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بيشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از فهرست حذف شد ، تنها روز پنجشنبه آخرين روز اجرای حكم می‌باشد نتيجتاً بعدازظهر چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنجشنبه كه آخرين روز امكان اجرای حكم است، تو را اعدام خواهند كرد.
اطلاع تو يك روز پيشتر از اجرای حكم مجدداً متناقض با حكم قاضی است. بنابراين پنجشنبه نيز حكم غيرقابل اجرا است. چهارشنبه نيز امكان اجرای حكم وجود ندارد چون جمعه و پنجشنبه حكم غيرقابل اجرا شد و فقط چهارشنبه آخرين روز اجرای حكم تشخيص داده شد و تو كه بعدازظهر سه‌شنبه هنوز زنده هستی، اجرای حكم روز چهارشنبه را پيش‌بيی خواهی كرد و از آن اطلاع خواه ييافت.
در اين موقع كه زندانی از حالت غمزدگی بيرون آمده بود با لبخندی مسرت‌بخش گفت:
پس به هر طريق می‌توان گفت كه روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره يك‌شنبه نمی‌توانند مرا اعدام كنند و فقط فردا يعنی شنبه باقی است. و اما فردا نيز اجرای حكم برای آنها غيرممكن است چون در اين صورت من امروز موضوع را خواهم فهميد.
ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هيچ تناقضی در حكم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد با اين وجود حكمش غيرقابل اجرا است. به دلايل بالا به نظر می‌آيد كه حكم قاضی باعث نقض حكم خودش شده است، اگر حكم را اجرا كند خلاف حكم خودش شده است، اگر حكم را اجرا كند خلاف حكم خود عمل كرده و اگر اجرا نكند باز هم خلاف حكم خود رفتار نموده.
روايت ديگری از این پارادکس از يك اعلاميه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌كند كه در آن ذكر شده:
برای تمرين ، در يكی از شبهای هفته‌ی آينده آژير خطر كشيده خواهد شد. شب تمرين درشش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسيد و تا شش بعدازظهر كسی از شب موعود مطلع نخواهد شد.
به ظاهر چنين به نظر می رسد که خود اين اعلاميه ثابت می‌كند كه تمرين هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان ديگر اجرای تمرين عملی نيست مگر اين كه به متن اعلاميه عمل نشود.
PARADOX
There are several types of paradox. On the one hand, a paradox is a statement of conclusion that seems self-contradictory or absurd but is really true. This was classed by philosopher and logician W.V. Quine as a veridical paradox. An example is the adage, “It is better to give than to receive.” It seems obvious that the benefits of receiving inevitably outweigh any possible advantages of giving, but many people find that, contrary to expectations, this is not their experience.
Here is another example. In the operetta The Pirates of Penzance by W.S. Gilbert and Sir Arthur Sullivan, the young man Frederic is indentured to a band of pirates until his 21st birthday. Unfortunately for him, the contract did not say until he was 21 years old, which is only a significant difference when your birthday is on Leap Year’s Day, February 29 – but his was. Consequently, although he had lived 21 years at the point of the action of the operetta, he was aged – by his birthdays – at a bit over 5 and not free of his indenture.
A paradox is also a statement of conclusion that, despite a seemingly valid argument based on acceptable premises behind it, leads to a conclusion that is senseless or fallacious. Zeno’s paradox of motion is an example. Boiled down, the logic of Zeno’s paradox is that you cannot reach a given point B from A, because prior to reaching B you must get halfway to B, and prior to getting halfway to B you must get halfway to halfway to B, and so on. Presented as passing an infinite number of points to reach a destination, movement is made to seem impossible. This is what Quine called a falsidical paradox: one that both appears to be and is, under scrutiny, false.
In addition, a paradox is a statement to which no truth value can be assigned. The sentences, “This statement is false,” and, “I am a liar,” are examples.
