نویسنده: محمد اردشیر
مدل ریاضی – نظریه مدل
فرایند تلاش در مسیر ایجاد و انتخاب معادل‌های (تقریبی) ریاضی برای پدیده‌ها را مدل‌سازی ریاضی نامیده‌اند. در مواردی که میسّر شود، مدل‌های ریاضی هم پدیده‌های طبیعی جهان در همۀ مقیاسها و اندازه‌ها را و هم ساخته‌ها و آفرینش‌های خود انسان را نمایش می‌دهند.
مدل‌سازی‌های ریاضی را اغلب به منظور توضیح و تبیین رفتار پدیده‌ها، پیش‌بینی، و نیز کنترل آن‌ها انجام می‌دهیم.
مدل‌سازی به‌وسیلهٔ سیستم‌های گسستهٔ دینامیکی
چنانچه رفتار مورد نظر در فواصل گسستهٔ زمانی به وقوع می‌پیوندد، مدل مربوطه به صورت معادلهٔ تفاضل خواهد بود. معادلات تفاضل در مقابل معادلات دیفرانسیل قرار دارند، که از آن‌ها برای مدل‌نمودن رفتارهایی سود می‌جوییم که به طور پیوسته صورت می‌پذیرند. هر دو دسته این معادلات روش‌ها و ابزار‌هایی بسیار موثر و پر‌توان را برای مطا‌لعه تغییرات، و نیز تبیین و پیش‌بینی امور مورد مدل‌سازی به‌دست می‌دهند.
* Giordano, F. R., Weir, M. D., and Fox, W. P. A First Course in Mathematical Modeling. by Brooks/ Cole Publishing Company, 2nd ed., 1997
در تعریف اولیه منظور از ساختار، یک ساختار جبری ست پس موضوع این نظریه به جبر مربوط می‌شود و از طرفی نگاه معناشناسی منطقی به ساختارها دارد که این نظریه را در دامنهٔ منطق ریاضی قرار می‌دهد.
اساتید مختلف چند تعریف از گستره و موضوع بحث این نظریه بیان می‌کنند:
* فرا ریاضیاتِ دستگاه‌های جبری [۱]
* جبر جهانی + منطق مرتبه اول = نظریه مدل [۲]
* هندسه جبری + میدان‌ها = نظریه مدل (که البته این بیان به واقعیت کنونی این شاخهٔ مطالعاتی نزدیکتر است) [۳]
* قضیهٔ فشردگی: مجموعهٔ Γ از جمله‌ها در زبان \mathcal{L} مدل دارد اگر و فقط اگر هر زیر مجموعهٔ متناهی از آن مدل داشته باشد.
* قضیهٔ لوفِن‌هایم-اسکولِم: فرض کنید Γ مجموعه‌ای سازگار از جمله ها در زبان \mathcal{L} باشد و \mathcal{L} = \boldsymbol{\kappa} اگر Γ مدلی نامتناهی داشته باشد آنگاه برای هر عدد اصلی \boldsymbol{\kappa} \le \boldsymbol{\lambda}، مدلی به اندازهٔ \boldsymbol{\lambda} دارد.
1. ↑ به گفتهٔ آلفرد تارسکی یکی از بنیانگزاران نظریه مدل، که مَلسِف این عبارت را عنوان کتاب خود قرار داده (به انگلیسی: MetaMathematics of Algebric Systems)
2. ↑ چَنگ و کیسلر (به انگلیسی: C.C Chang, J.J Keisler). نظریه مدل (به انگلیسی: Model Theory). انتشارات North Hall، سال 1990.
3. ↑ هاجِز (به انگلیسی: W. Hodges). کوتاه ترین نظریهٔ مدل (به انگلیسی: A Shorter Model Theory). انتشارات دانشگاه کمبریج، سال 1997، ISBN 0-521-58713-1.
* محمد اردشیر. منطق ریاضی. انتشارات هرمس با همکاری مرکز بین المللی گفتگوی تمدن‌ها، ۱۳۸۳، ISBN 964-363-229-6.
